代数数论冯克勤代数数论(数论重要分支)

2017-12-03

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文章简介：代数数论主要起源于费马大定理的研究.法国数学家P. de费马在学习与翻译丢番图的<算术>一书时,在书边上写下了著名的"大定公式1理",即方程

代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P. de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时,在书边上写下了著名的"大定公式1理",即方程x^n y^n=z^n(n>2)没有xyz≠0的整数解。

他说他已得到了这个结果的证明,由于地方太小而未写下。经过三个半世纪的努力,这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学,包括代数几何中的椭圆曲线和模形式,以及伽罗华理论和Hecke代数等,令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。

而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理,获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。

容易看出,这个结果的证明,可以归结到n=4以及n为奇素数的情形。费马本人给出了n=4的证明,L.欧拉与A.-M.勒让德证明了n=3的情形,P.G.L.狄利克雷证明了n=5的情形。虽然对于许多奇素数,人们已经证明了这个结果,但始终没有得到一个一般的证明。

公式3E.E.库默尔是努力证明费马大定理的数学家之一。他利用n次本原单位根代数数论把方程 xn yn=zn写成(公式1)代数数论,他以为在分圆域代数数论中, “整数”也象普通整数一样,可以唯一地分解成素数的乘积。

在这个前提下,库默尔给出费马大定理的证明。不久,他自己发现他的假定是错误的,即在分圆域中, “整数”分解成素数的乘积不具有唯一性。这个发现使库默尔引入“理想数”的概念,他随之证明了,每个“理想数”可以唯一地分解成素因子的乘积,因而就建立了分圆域上的数论。

J.W.R.戴德金把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域,为代数公式4数论奠定了基础。

C.F.高斯关于二元二次型的深入研究也引起了二次数域算术的研究。

有理数域Q上的有限扩张K 称为有限次的代数数域,K 对Q 的次数n=【K:Q】就是指K作为Q上线性空间的维数。K中每个元素都是一个次数不超过n的有理系数多项式(公式2)公式5的根。因为乘一非零整数后,多项式的根不变,所以不妨假定(1)是整系数多项式。

如果K 中元素α使一个首项系数为1(即α0=1)的整系数多项式(1)为零,那么α就称为一代数整数。K 中全体代数整数组成一个具有单位元素的交换整环OK。对于环OK中的理想A、B定义乘法(公式3)

即由A、B中元素之积的有限和组成的集合,显然,AB也是OK的理想。一个理想P 称为素理想,就是指由αβ∈P必有α∈P或β∈P。可以证明,在代数整数环OK中,每个非零理想A都公式6可以唯一地分解成素理想的乘积,即A=P1P2…Pt,其中Pi(i=1,2,…,t)是素理想。

在通常的整数环Z中,每个理想都是由一非负整数的倍数所组成,因之,非零理想与正整数是一一对应的。由此可见,关于理想分解的定理正是通常整数的因子分解定理的一个推广。

OK的全体非零理想组成一乘法半群, OK就是这个乘法半群的单位元素。为了方便,引入分式理想的概念。如果K 的一个子集合A是一个有限生成的OK模,那么A 就称为一分式理想。公式7显然,理想全是分式理想。由K中任一元素α 的整数倍rα(r∈OK)组成的集合也是分式理想,它们称为主分式理想。

对于分式理想可以同样地定义乘法。可以证明,K 中全体非零的分式理想在乘法下成一群,而且每个分式理想A 都可以唯一地表成素理想方幂的乘积(公式4)这个群称为K的理想群,记为IK。

环OK中可逆元素称为单位。全体单位组成一乘法群,记为UK。显然,K 中非零元素公式8α 生成的主理想(α)=OK的充分必要条件是α∈UK。下面的正合列是基本的(公式5)

其中K*表示K 中全体非零元素组成的乘法群,而φ 把K*中元素映射到它生成的主理想(公式6)CK称为K的理想类群,其元素是理想类。按定义IK,中两个理想A、B属于同一类,当且仅当有α∈K*使A=αB。代数数论中一个基本的事实是:CK为一有限阿贝尔群,hK=

CK

称为K的类数。当hK=1,即每个理想都是主理想,OK为一主理想环,从而因子分解唯一性定理成立。在一定意义上,理想类群CK与类数hK反映了代数数域K在算术上的复杂性。直到现在,类群结构的研究与类数的计算,始终是代数公式9

数论中重要问题之一。即使是二次域类数的计算也是很困难的,一个值得注意的进展是 Heegner最先证明了(公式7)它们分别是d=1,2,3,7,11,19,43,67,163等9个被业界称为Heegner 数。[1]

正合列(2)的另一端是单位群UK,它的结构已被狄利克雷完全决定。他证明了UK=HK×VK,式中HK为K中全部单位根组成的有限群,VK是一秩为r1 r2-1的自由阿贝尔群,r1为K 到实数域R 同构的个数,2r2为K到复数域C 同构(非实的)个数。

VK的一组基称为基本单位组。具体算出基本单位组是代数数论中又一个重要的问题。基本单位组与类数有密切的联系。公式10整数环中一个素数p 在OK中生成一个理想pOK,一般地,它不一定是OK中的素理想。研究素数p 在OK中的素理想分解的规律,是代数数论中一个中心问题。下面把这个问题放在一个更广的形式下来讨论。

设L是代数数域K上的一个l次扩张,L当然仍是一个代数数域。它的代数整数环为OL,显然,(公式8)且OL为OK的一个有限生成模。

如果OL是OK上一自由模(秩一定是l),那么在OL中就有l个元素r1,r2,…,rl构成OL公式11的一组基,即(公式9)这样的元素组r1,r2,…,rl称为OL对于OK的一组整基。当OK是主理想环时,由主理想环上有限生成模的结构定理可知,OL对于OK一定有整基。特别地,代数整数环OK对于整数环Z一定有整基。

设P是OK中一个素理想。POL是OL中一个理想,它在OL中有素理想分解(公式10)

因为代数整数环是戴德金环,素理想都是极大理想,即代数整数环对于素理想的商环公式12是域。对于(3),可以证明Qi∩OK =P,i=1,2,…,g。因而OK/P可以看作OL/Qi的子域。令(公式11)它称为Qi对于P的剩余次数,ei称为Qi对于P 的分歧指数。于是有(公式12)

如果在(3)中有某个ei>1,即POL被素理想Qi的平方整除,就说P 在L 中分歧,而Qi就称为在K上分歧。否则就称为非分歧。如果OK中所有的素理想在L中都是非分歧的,L就称为K 的一个非分歧扩张。

判别式与差积是刻画分歧的两个重要概念。令Tr表示有限扩张L到K 的迹。对于L中任意l个元素v1,v2,…,vl,可知det│Tr(vi,vj)│=0的充分必要条件是v1,v2,…,vl,在K上线性相关。

在公式13OL中取l个在K上线性无关的元素v1,v2,…,vl,作(公式13)对于OL中所有可能的线性无关的元素组 v1,v2,…,vl,det│Tr(vi,vj)│在OK中生成一个理想Δ(L/K),它称为L对于K的判别式。可以证明,OK中素理想P在L中分歧,当且仅当P

Δ(L/K)。由此可知,K中分歧的素理想只有有限多个,且L为非分歧扩张的充分必要条件是:Δ(L/K)=OK。利用判别式可以证明,有理数域上没有次数大于1的非分歧扩张。

在L中定义C={v∈L│Tr(vOL)嶅OK},显然C 是L的一个分式理想,且C叾OL。令 δ(L/K)=C-1,它是OL中一个理想,称为L对于K 的差积。可以证明,OL中素理想Q在K上分歧,当且仅当Q

δ公式14(K/L)。差积与判别式有密切联系。

研究代数数域的算术性质与代数性质之间的联系,是代数数论的一个重要的方面。

设L/K是一伽罗瓦扩张,g=g(L/K)是伽罗瓦群。可以证明,在分解式(3)中,素理想Q1,Q2,…,Qg在伽罗瓦群 g下是可迁的,因而有即对于OK中素理想P有代数数论代数数论且Q1,Q2,…,Qg有相同的剩余次数ƒ。公式(4) 就成为l=eƒg。令 D1为 Q1在 g 中的稳定子群,即代数数论代数数论,显然【g:D1】=g,

D1

=eƒ。令岧=OL/Q1,噖 =OK/P,于是D1中每个元素诱导出岧/噖的一个自同构。可以证明,代数数论是一满同态。令K1为这个同态的核,显然,【D1:K1】=ƒ,│K1│=e,D1称为Q1的分解群,K1称为Q1的惰性群。

对Qi相应地有子群Di与Ki, 在g中它们分别与D1与K1共轭。当 P非分歧时,代数数论代数数论(因噖、岧是有限域)。由伽罗瓦基本定理,相应地有一串域代数数论代数数论是L的一个最大的域,P 在其中不分歧。当P 分歧时,群K1还可进一步细分,即定义所谓高阶分歧群。这是由D.希尔伯特建立的一套重要的理论,称为希尔伯特分歧理论。

对于代数数域上的阿贝尔扩张,有很深刻的结果,即所谓类域论。

代数数论唯一因子编辑

代数数域K的整数环OK的元素的素分解和整数环Z的素数分解有不同之处,不是每个OK的元素都唯一分解。虽然OK元素的唯一分解束在某些情况下可能成立,如高斯整环,但在其它情况下可能会失败, 如二次域Z [√-5]中,6就不是唯一分解

OK的理想类群是一个整数环OK的元素是否唯一因子分解的度量,特别是当整数环OK理想类群是平凡群时,当且仅当O为唯一分解整环

O的唯一因子分解和OK素理想间关系

OK元素的唯一分解可能成立:这时OK的理想的唯一分解成素理想(即它是一个戴德金整环)。这使得在研究OK的素理想尤其重要。从另方面,从整数环Z更改为代数数域K的整数环OK后,整数环Z中素数就能生成Z素理想(其实,Z的每一个素理想(p)的形式是:pZ)可同一素数在O中可能不再生成素理想,例如,在高斯整环中,理想2Z不再是素理想,

但理想3Z是一个素理想。高斯整环唯一因子分解完整的答案使用费尔马大定理,其结果为:

得出这种简单的结果对更一般的整数环来说是代数数论的基本问题。当代数数域K是有理数Q的阿贝尔扩张时(即阿贝尔群的伽罗瓦扩张)类域论实现了这一目标。