华罗庚数论导引 华罗庚领导的中国数论学派

是杨武之引导华罗庚走上“数论”研究的道路

华罗庚在清华大学一面工作一面学习。他用了两年的时间走完了一般人需要八年才能走完的道路,1933年被破格提升为助教,1935年成为讲师。在清华大学工作时,华罗庚最先感兴趣的是研究数论。后来华罗庚曾写文章说是杨武之引导其走上了“数论”研究的道路。

剑桥进修 与高手切磋交流开阔了眼界

1936年至1937年,华罗庚来到英国的剑桥大学进入高手云集的国际著名的数论研究中心进修。当时华罗庚的学术水平在清华,在中国可以说是出类拔萃的,但是从他当时研究的问题来看,还没有进入到数论的核心地带。因此他的视野与研究思路是有局限性,与世界先进水平还是有一定的距离。

这两年时间对华罗庚来说是至关重要的,他参加该中心的讨论班,了解了数论领域前沿问题,并参与了攻克难题的战斗。这段时间他与高手交流与切磋的经历,不仅大大增加了他的自信,而且也使有了与高手竞争的勇气。这也是他著名的治学哲理“下棋找高手,弄斧到班门”思想产生的根源。

华罗庚在两年时间里写了11篇论文,其中的五篇论文是关于数论的。到了剑桥数学中心,使他一下子打开了眼界。他听了许多高手们的报告,并与他们一起讨论问题。1940年华罗庚解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题。这两年的工作也为他的专著《堆垒素数论》奠定了必要的基础。

华罗庚在西南联大讲授《堆垒素数论》

1941年华罗庚在西南联大非常艰苦的条件下,用了两年多的时间完成了其数论巨著《堆垒素数论》,他系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德的“圆法”、维诺格拉多夫(1891-1983)的“三角和”估计方法及他自己的方法,成为20世纪经典数论著作之一。

据报道,华罗庚曾在西南联大讲授过他的《堆垒素数论》,开始慕名而来的学生把教室挤得水泄不通,后来听课的人数一天天减少,减到4个。华罗庚的《堆垒素数论》这本书对普通的学生来说实在是太深了。一星期后,就只剩下2个人,就是后来成为著名数学家的闵嗣鹤和钟开莱。教室里只剩下师生三人,因昆明天天空袭不绝,华罗庚干脆把教室搬到华家附近,租屋而居,进行讲授。

当年听了华罗庚《堆垒素数论》的课并给他做助教的闵嗣鹤,解放后1954年在北大开设了数论的课程。1966年他又成为陈景润《哥德巴赫》论文的审稿人之一。只有经过这样的知识和训练的人才能担当此任。

著名数学家华罗庚在中国最早研究了哥德巴赫猜想

王元说:“华先生早在20世纪30年代就开始研究哥德巴赫猜想,并得到了很好的结果。早在30年代、华罗庚在剑桥大学访问时就对这个问题有所研究并取得了一定的成果。1938年,他就证明了“几乎所有偶数都是两个素数之和”。几乎所有偶数都可以表示为一个质数和另一个质数的方幂之和。

1953年华罗庚亲自组织了“数论导引”和“哥德巴赫猜想”两个讨论班

1953年冬,数学研究所建立数论组时,华先生就决定以哥德巴赫猜想作为数论组讨论的中心课题。他亲自组织了一个是“数论导引"讨论班和另一个”哥德巴赫猜想 “讨论班。《数论导引》讨论班目的是为之后的研究工作打基础,华罗庚在这个讨论班上先报告自己写的八、九万字的讲稿,然后由学生把他讲的内容进行整理,形成了一个数学名著《数论导引》初稿,最后由华罗庚定稿。

而《哥德巴赫猜想》这个讨论班则是准备打攻坚战的。北大数学系闵嗣鹤教授的研究生潘承洞也参加了《哥德巴赫猜想》这个讨论班。

按照华罗庚计划与安排,哥德巴赫猜想讨论班分为四个单元来进行:

1、史尼尔曼密率,曼恩定理与赛尔贝格方法。

2、布伦筛法、布赫夕踏布方法。

3、林尼克大筛法,瑞尼定理。

4、素变数的三角和的估计方法、西革尔定理、维诺格拉朵三素数定理。 华罗庚计划在讨论班进行完了之后,将这四个方面的材料写成综合性论文,在数学所的数学进展上发表。那时在世界上的数论著作中,还只有包含了这四个方面成就的某些著作,所以这确实是一个颇吸引人的计划。

讨论班是由一个人主讲,华罗庚等则不停地提问题,务必使得每一个点都完全弄清楚为止。华罗庚这种打破沙锅问到底的搞法,常常使主讲人讲不下去,长时间在讲台上思考,这叫做“挂黑板”。

有些报告材料往往在讨论班上就得到了简化,所以讨论班进行得很慢,但参加者得益很大。这是培养人才的好形式。既可以集思广益,又可以活跃学术空气。当时,他经常参加讨论班,经常不断地提出问题和疑点,把大家的思想推向一个更为积极、活跃的境界。 哥德巴赫猜想讨论班的计划并没有完成,只进行了一、二、四单元,就因“反右斗争”的到来而中断了。

华罗庚选择“哥德巴赫猜想”作为数论组讨论班的主题是非常具有长远的战略眼光的,它也带动解析数论的研究,不仅推动了数学的发展,同时在国内也培养中国的数论研究人才。之后这个讨论班的三个成员都在数论研究中作出了重要的贡献与《哥德巴赫猜想》的研究也取得了重要的进展。

现在看来,华罗庚当时的决定是极有远见的。组织数论讨论班是想让学生先补充数论的基础知识,组织另一个”哥德巴赫猜想 “讨论班则是希望通过对哥德巴赫猜想问题的集中研究,了解解析数论的研究成果,学习一些重要的工具与方法,博采众长,能够组织起一支攻尖的队伍。

他的着眼点与哥德巴赫猜想和解析数论中几乎所有的重要方法都有联系,他的下一步棋是让数论组的年轻人学一些代数数论知识,将解析数论中的一些结果推广到代数领域中去。

十几年后,华罗庚回忆他的这个决定时仍然流露出满意的神情。他说:“我不是要你们在这个问题上作出成果来,我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中所有的重要方法都有联系。以哥德巴赫猜想为主题来学习,将可以学到解析数论中所有的重要的方法。

”,他说“ 哥德巴赫猜想真是美极了,现在还没有一个方法可以解决它。”他还指出:“你们弄懂了解析数论,再学一点代数数论,就可以将解析数论的结果推广到代数数域上去。关于代数数论,除了《数论导引》的第十六章外,再学两条定理,狄里赫雷定理与戴德金定理就可以边学习边工作了。”

从1954年开始,闵嗣鹤在北大开设了“数论专门化”,共有四个学生。他开这门数论课,指导他们做毕业论文,引导他们从事解析数论的研究。闵嗣鹤鼓励他的学生多与数学所的数论组的人交流,多向华罗庚学习。数学所数论组的年青人也常向闵嗣鹤老师请教,彼此间的关系很密切。北大数论专门化的学生潘成洞、尹文霖与邵品琮也来数学所参加过哥德巴赫猜想讨论班。

1957年,华罗庚的《数论导引》出版,书中包括了不少未发表的结果及关于三角和、丢番图方程、模变换及华林与他利问题的基本材料。

哥德巴赫猜想讨论班取得的成果大大超出了华先生的预期

事情的发展出乎华罗庚的预料,他感到由衷的喜悦。参加了这个讨论班的成员之一王元在1956年和1957年先后证明了哥德巴赫猜想中的“3 4”和“2 3”;1962年,山东大学的潘承洞与苏联数学家巴尔巴恩分别独立证明了“1 5”;1963年,潘承洞又证明了“1 4”。

王元证明了“3 4”和“2 3”。几年以后,1962年山东大学的潘承洞证明了“1 5”;1963年,潘承洞与巴尔巴恩分别独立地证明了(1 4);1965年,维诺哥拉多夫、布赫夕塔布和朋比尼都证明了(1 3)。1966年,我国著名数学家陈景润证明了(1 2)。

后来华罗庚发现了陈景润,并将其调入数学所。陈景润经过多年的努力,最后终于证明了1 2,取得了世界上关于证明哥德巴赫猜想的最好成果。

大约在1962年,陈景润就开始研究哥德巴赫猜想。1965年初,他将哥德巴赫猜想的手稿给王元看,王元不相信:“当他的手稿到我手上时,我想了几分钟就懂了,可我不相信这个想法会做出来,后来想了想,这篇文章中只有他用的苏联数学家一条定理的证明我没有看懂,其他都没有错误,就觉得他是对的,但这篇文章的发表不是我签字的。

“ 陈景润证明“1 2”的论文以简报形式发表在1966年5月15日出版的《科学记录》(《科学通报》的前身)上,在这之后,“文革”开始了,《科学记录》不能再发表学术文章,陈景润论文的发表赶上了一个末班车。

在华罗庚的领导下,中国数学家在研究哥德巴赫猜想方面取得一系列重要进展。

大家都知道的是华罗庚将陈景润从厦门调到数学所,但不知道后来又是华罗庚将他从大连调回北京的。我们试想一下,如果陈景润不被调回数学所,那么他后半生的工作,包括哥德巴赫猜想的研究成果就不存在了。

1959年“大跃进”开始时,数学所批判白专路线,华罗庚首当其冲成为批判重点,弟子陈景润也被当做重点。“批判完后,陈景润就被‘踢’出数学所,到大连化学物理研究所洗瓶子。”王元说,“照理讲,他的学术生命就结束了,但运动过后,华罗庚想起了他,又把他从大连调回来。

吴文俊院士说:“陈景润同志本来是一个无名小卒,华罗庚同志知道了他的某些工作,就把他引到数学所来。在数学所这样一个环境里,在华罗庚先生亲自指导之下,陈景润同志做出了许多重要的工作。其中最突出的就是大家都知道的,所谓哥德巳赫猜想“1 2”的证明。这出现于1965年。我相信如果当年陈景润同志没有被华罗庚同志引到数学所来,他的成长奇迹是不可能的。”

到目前为止,陈景润的结果仍然是世界上最好的结果。哥德巴赫问题的这个最佳结果,被国外数论专家誉为“光辉的顶点”,并称之为“陈氏定理”。哥德巴赫猜想的最后证明,也许还在等待着数学方法上的新突破。

1962年华罗庚在科大开设数论与代数专业,积极培养数论后备人才

华罗庚的学生冯克勤教授回忆说,"1962年华罗庚想在我们年级开设数论与代数专业,由于我从中学就喜欢数论,就报了名,于是包括我在内的15位学生从四年级起进入该专业,由华罗庚亲自讲授“典型群”,王元讲“数论导引”,万哲先和曾肯成讲“抽象代数”,吴方讲解析数论,这集中了当时国内最强大的数论和代数教师阵营。

大学五年级,吴方指导我作了一篇论文,内容是把当时陈景润关于圆内整点问题余项估计的最新成果作到椭圆上去,这是我所写的第一篇论文。

华罗庚1963年来科大任副校长,并把他在科学院数学所的研究生带到科大,连王元的关系也临时转到科大,准备以科大为基地集中力量培养学生从事科学研究。他给我的任务是学习代数数论,这是20世纪40年代他在美国做教授的一个数论研究领域,回国后,组织了解析数论的队伍,但由于种种原因,代数数论的研究未能充分开展。

此外,华罗庚和王元这时也正把数论用于积分近似计算,其中也用到代数数论工具,所以他这时希望在科大的三届共十一位研究生中有人能研究代数数论。这是一个用代数方法研究数论的一门学问,很合我的胃口。"