泰勒展开式高中 导热微分方程的推导中为什么要用到泰勒展开 思路是什么?
这个问题虽然对于传热学来说非常初级,但是解决它能从中学到一些解决问题的思维,是个非常好的问题。 1. 为什么可以用泰勒级数展开? 泰勒级数展开针对所有的平滑可微分方程都适用。在物理问题中经常被用来简化方程或者建立模型。
在这里我们用泰勒级数来求一个立方体微小元的两个对立面的热流量。 而热传导的热流量方程中, k是常数或者是温度和压力的函数,A在某个截面已知,T在连续的介值内也是平滑的,所以q满足适用泰勒级数的条件。
2. 为什么只需要一阶的泰勒级数? 泰勒级数展开(来自wiki) 其中并没有x-->a的条件,随着k从1到无穷所取的项越来越多之后,该展开式会越来越准确。 但是在x越来越接近a的时候,一阶展开式的准确度会越来越高。
(图示为四阶展开,来自wiki) 而在热传导方程中 你在问题中也提到了这是微小元分析,所以dx-->0 因此一阶的泰勒级数展开已经足够了。 3. 怎么想到要用泰勒级数的? 书本上教我们知识的时候,是按照先求条件再求结果的顺序来的,但是我们真正在解决问题的时候的思考逻辑可能是看着结果凑条件(证明题逆推法中枪的举手!
)。 写一个微小元的能量守恒方程 画完微小元后, 我们可以得到 (T 应该是偏微分,一时间想不起来怎么打了。
。。) 这个时候,我们需要解决掉前6项,才能把公式求出来。我们的目标是将公式解成只带T项的形式。于是我们先解决一下x方向。 这个时候,我们就会想如果能把变一下就好了。
于是,我们把问题拿给了同学校的数学系大神,数学系大神正好读到了一篇paper介绍了泰勒级数这个概念,随后这个问题就被解决了。就决定是你了,泰勒级数! 4.
它在这种情况下满足导数的定义。 之前 @Grit的回答说,这就是导数的定义,这种想法是正确的,这也是我一开始的想法。 后来我查阅一些书籍之后,发现我的传热学课本和CFD课本里头都在讲这一段的时候先会用泰勒级数来解释它,然后说“换一种说法,这也是函数的定义blablabla” 我猜测是这样子的,很多时候,热传导问题是非常棒的有限节点问题,我记得我上传热的时候就有被要求写代码去算作业题。
但是在做mesh的时候,我们没有办法真正做到dx无限趋近于零,因此在一些较粗糙的网格中,我们会采用更高阶的泰勒级数展开来求解这个问题,出现到两阶的时候,就必须用泰勒级数展开来解释了。
