泰勒公式(或泰勒展开)的几何直观
(作者@abada张宏兵) 泰勒公式(或泰勒展开)是微分学最重要的成果与应用之一。但我搜索了一下互联网,尚未发现有满意的泰勒公式的几何直观解释,我们现在给出一个解释。 如下图,先建立n阶曲边三角形的概念。
1阶曲边三角形就是曲线y=x与x轴即y=0以及x=x围成的曲边三角形(这里是横纵直角边皆为x的等边直角三角形),以下简称标准曲边三角形的面积。此处已将直线和直线三角形分别当做曲线和曲边三角形的特殊情况。
1阶标准曲边三角形的面积就是x对x的积分,设它为S1,S1=(1/2!)x^2。 现在以仍以x为自变量但以S1为函数值建立新曲线y=S1,这可形成2阶标准曲边三角形,设其面积为S2,它等于S1对x的积分,S2=(1/3!)x^3。 同样,可以S2为函数值建立新曲线y=S2,这可形成3阶标准曲边三角形,设其面积为S3,它等于S2对x的积分,S3=(1/4!)x^4。 依次类推。
现在可以给出函数f(x)的泰勒展开公式的几何直观解释,为方便我们从0点展开公式(经过坐标系平移总能做到这一点)。 如图,我们先看曲线y=f(x)所围曲边梯形的面积S,即S=f(x)对x的积分。 另外,在一级近似下,S等于矩形面积f(0)x。
【在n 1级近似下,还要外加n个曲边三角形的面积,每个曲边三角形的面积,与f(0)的n阶导数成正比,且与n阶标准曲边三角形的面积成正比】。即 f(x)对x的积分 = f(0)x f'(0)S1 f''(0)S2 f'''(0)S3 .
.. o。
代入各标准曲边三角形的面积公式,再方程两边对x求导,就得到: f(x) = f(0) f'(0)x (1/2!
)f''(0)x^2 (1/3!)f'''(0)x^3 (1/4!)f''''(0)x^4 ... o。 此即f(x)的泰勒展开式。
