量子力学苏汝铿答案 苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter1
第一章 典型例题分析 2003.12.8 1.1 试利用普朗克公式证明维恩位移律: 解题思路:普朗克公式即是能量量子化假设、具体是指每个光子的能量 E 正比于该光子的 频率。 因为光子是波色子, 所以只要利用普朗克假设加上有限温度下波色子的波色爱因斯坦 分布,就能得到光子的能谱分布。
从而验证维恩位移律。 解: 普朗克公式的形式是 ρν = 其中能量根据为 8π c3 hν e hν kT (1.1) ?1 (1.
2) (1.3) ε = hν 把频率与波长的关系式 ν = c/λ 微分得 dν = ? 利用 c d ρv = 0 和(1.1)并化简得到 dλ λ2 dλ (1.4) 5 ( eξ ? 1) = ξ eξ 令 (1.
5) hc / λ kT = ξ 则 (1.6) 5 ( eξ ? 1) = ξ eξ 显然 (1.7) ξ = const. 或 (1.8) hc / λ kT = const.
这正是维恩位移律。 证毕。 (1.9) 1.2 设一电子为电势差 V 所加速,最后打在靶上,若电子的动能转化为一个光子,求当这个 光子光波波长分别为 500nm(可见光) 、0.1nm(X 射线)以及 0.
0001nm(gamma 射线)时, 加速电子所需的电势差是多少? 解题思路:根据能量守恒,电子经电势差加速后获得的动能等于电子在电场中电势的改变, 根据题设,电子的动能完全转化为光子的能量。
利用光量子的爱因斯坦假设,就能得出相应 入射光子的波长和电子动能的关系。 解: 由能量守恒得 ?eV = 以不同得波长数值代入 hc λ (1.10) 500nm : V = ? 0.
1nm : V hc 6.626 ×10?34 × 3 × 108 = V eλ 1.6 ×10?19 × 500 ×10?9 2.48V (1.11) (1.12) (1.13) 12400V 0.
0001nm : V 1.24 ×107 V 1.3 若质子被场强为 E=3000 V/cm 的均匀电场加速。问质子在动能为 Ek=1000eV 时,其物 质波的变化率为多少? 解题思路:质子受电场作用加速,其动量发生变化。
由物质波的波长与动量之间的关系,即 可解得。还需注意,在计算动能时,需要考虑是否要用相对论的计算公式,也就是估算一下 质子速度。 解: 由牛顿第二定律, E ?e = 物质波的波长与动量之间的关系, dP dt (1.
14) P = h/λ 求导, (1.15) dP P2 d λ =? dt h dt 得 (1.16) dλ E ?e = ?h 2 dt P (1.17) 2 用经典的动量公式估计,质子速度为光速的千分之一量级,因此经典的动量公式 P = 2mε 有效。
dλ E ?e = ?h = ?59.4? m / s dt 2mε (1.18) 1.4 讨论受热 He 原子束被简单立方晶格(d=2 埃)所衍射。
在什么温度下,其衍射才是明 显的? 解题思路:要能清楚看到衍射,波长必须大于衍射缝。而物质波波长愈长,粒子能量愈小。 由能均分定理,粒子此时所对应的温度就越低。
解: λ= He 原子受热,由能均分定理,其平均动能为 h p (1.19) E= 由此, 3 p2 h2 k BT = = 2 2m 2mλ 2 (1.20) h2 T= ≈ 39 K 3k B mλ 2 所以,用 He 原子作衍射源的代价高。 (1.21)
