数学里的 e 为什么叫做自然底数?是不是自然界里什么东西恰好是 e?

好问题,让我尝试不用公式,用跨越7000年人类文明的方式,来解读e的自然之美,争取有中学基础的人就能看懂。e有时被称为自然常数(Natural constant),是一个约等于2.71828182845904523536……的无理数。以e为底的对数称为自然对数

(Natural logarithm),数学中使用自然(Natural)这个词的还有自然数

(Natural number)。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然”,而是有点儿“天然存在,非人为”的意思。就像我们把食品分为天然食品和加工食品,天然食品就是未经人为处理的食品。但这样解读“自然”这个词太浅薄了!为了还原全貌,必须穿越到2500多年前的古希腊时代。

(你也知道,穿越剧都很长(﹏),不喜欢长篇大论的,可直接跳到后面看结论。)

“自然”的发明

我们知道,人类历史上曾出现过很多辉煌的文明,例如大家熟知的四大文明:古巴比伦、古埃及、古印度河以及古代中国。

但是要说谁对现代文明的影响最大?对不起,四大文明谁都排不上!真正对现代文明影响最大的是古希腊文明,特别是古希腊的哲学、科学思想,是整个现代文明的源头和基石。

这里并不是要贬低四大文明,现代文明也从各文明继承了大量的文化遗产,只是相比古希腊要少很多。

现代人的基础教育,无论是什么国家、什么社会制度、什么民族,在教科书里除了介绍自己的古代成就外(如四大发明),还会大篇幅的介绍古希腊的科学、哲学思想,来启蒙学生的心智,这是跨越国界的共同做法。

大家都这样做的原因,就是因为古希腊哲学家发明了科学的思维方法和“自然”(Natural)这个词,在理论中用自然来取代具体的神灵,这是人类文明史上划时代的发明。如果没有这个发明,现代文明可能还会晚出现数千年,所以这是至关重要的进步。

在古希腊文明之外的古文明里,人们解释世间万物的运行时,总是要引入神灵等超自然、拟人化的因素。例如,得病了就认为鬼神附体,洪水泛滥就认为天神发怒,石人一出天下就可以造反了,总有一个超自然的神灵在操纵万物的运行。

人们偏爱形象而戏剧化的解释,拟人化的神灵恰恰具有形象、戏剧化的特点,最易于接受和传播。现代喜欢希腊神话的人数,也远多于喜欢希腊哲学的。电视里最流行各种奇幻故事,例如狼人、吸血鬼什么的。古代人也一样,不同的是我们知道这是假的,古人则认为是真的,这成为他们理解世界运行的思维定势。

直到公元前624年,泰勒斯

泰勒斯被称为“科学和哲学之祖”、“科学之父”、“哲学史上第一人”!(还有比这更牛的称号吗?)

泰勒斯被称为“科学和哲学之祖”、“科学之父”、“哲学史上第一人”!(还有比这更牛的称号吗?)其实泰勒斯是个多神论者,他认为神是存在的,是神让万物有了自己内在的规律。但解释万物的运行,不能靠凭空的制造故事,要靠坚实的证据来发现这些规律,并用理性的方法解读。这就是泰勒斯的最大贡献,开创了一套认识世界的全新思维方法,他关注的是证据、规律、理性,而不是神。

尽管泰勒斯提出的理论现在看起来很粗糙。但是人们不再需要像宗教一样,把旧理论看成是不可否定的权威结论。只要有坚实的新证据和理性的推理,旧理论可以被修改或推翻,更好的理论就可以建立起来。这是一种可靠的、可进化的理论体系。相反,宗教是停止进化的、只能膨胀的理论体系,例如你只能解读圣经,但不能否定圣经。

后来的希腊哲学家不断借鉴和发展泰勒斯的理论,建立了“自然”(φύσις)的概念,“自然”代表万物因为本源而发生自然而然的变化。赫拉克利特还引入了逻各斯

(希腊语:λόγος,英语:Logos)的观点,用以说明万物变化的规律性。逻各斯原来是指语言、演说、交谈、故事、原则等,这里的逻各斯则主要指一种尺度、大小、分寸,即数量上的比例关系。后来对数的发明人纳皮尔就用Logos和arithmos(算法)创造了单词Logarithm 来命名对数法,经过后人简化变成了对数符号log。

几乎和古希腊同一时代,春秋战国时代的诸子百家也提出过一些相似的思想,例如老子的道。但很可惜,这种蓬勃发展的思想爆炸因为诸多原因戛然而止,只是昙花一现。但是限于篇幅,这里不再展开,请到最后的推荐阅读中了解。

“自然”与美

古希腊的学者还给“自然”赋予美的含义,他们认为规律性就是一种和谐感,数学的比例是种超越肉体感官、只能靠心智才能领悟到的美。毕达哥拉斯

就是其中最极端的代表,他对数学美的狂热追求超过了偏执的程度,美像神一样不可冒犯,毕达哥拉斯主义

毕达哥拉斯主义者庆祝日出这种宗教的狂热驱动他和信徒们不断的去挖掘“自然”之美,并在数学之外的音乐、建筑、雕刻、绘画等领域发现了大量的比例关系,最有名的是毕达哥拉斯定理(中国叫勾股定理)。毕达哥拉斯认为所有图形中,圆是最对称的,所以圆是最完美的图形。参见毕达哥拉斯学派美学思想(朱光潜)

“自然”思想的意义

雷军说得好,“在风口上,猪都会飞”!就像乔布斯开启了移动互联网时代,泰勒斯则开启了古希腊哲学时代。

古希腊时代是一个科学、哲学大爆炸的时代,原本黑暗的天空中突然爆发出无数的新星:赫拉克利特、毕达哥拉斯、德谟克利特、苏格拉底、柏拉图、亚里士多德、阿基米德、欧几里得、希波克拉底等等,都因为得益于这套思维方法,发现了大量的自然规律,成为各学科领域里开天辟地的先贤。

古希腊人还把自然的概念引入社会领域,来分析社会中的现象和规律。例如亚里士多德就曾经激烈的抨击借贷,认为在所有赚钱方法中,利息是最不自然的。

以自然作为基础,会比人为强制规定作为基础更稳定和可靠。

英尺(foot)的长度就是根据人的脚长来人为规定,人的脚长差异太大,历史上英尺发生过很多次变化,不稳定,这是不自然的。

的长度则接近自然,如下图,海里是根据地球周长计算的,是1角分的长度,变化就极小。

对比之下,宗教等理论体系的基石并不是自然的,靠的是强制手段来确立的权威,这是不稳定的。当强制手段不再有效时,就会使宗教分裂成各种教派。

自然思想不同于宗教,靠的是坚实的观察证据和理性思维,任何人都可以反复验证,具有可证伪性。这样打下的基础就非常的稳固。正是这种稳定性和可靠性,古希腊思想被越来越多的人所接受,对后人产生了巨大的影响,几乎奠定了现代所有科学领域的基础。

经过2500多年的不懈努力,终于在古希腊文明所铺就的最稳固基石上,人类建立起了现代文明的宏伟大厦。

自然数中的“自然”

古希腊认为像1、2、3这样的数,是事物本身就有的属性,可以用来描述日常事物的数量和顺序,无需过多解释,就是3岁小孩也能快速理解,所以这些数被称为自然数(Natural number)。

但这种朴素的自然观限制了数的范围,无法解释0,负数、分数、小数等数。古希腊人认为这些数并不自然,是人为了计算而发明出来的,不是自然的数。

毕达哥拉斯就非常厌恶无理数,无理数的不规律破坏了和谐美。他的门生希帕索斯Hippasus就是因为发现了√2并公布出去,居然被毕达哥拉斯以渎神的罪名被淹死了,这被称为数学史上的第一次數學危機

,但因为也是无理数,所以一直秘而不宣。现代我们知道,没有受过基础数学教育的人要想理解这些数,不仅需要了解更复杂的概念模型,还要熟悉加、减、乘、除等运算方法,只有这样才能完全明白。而更复杂的数,例如无理数、代數數

,也需要了解更复杂的运算。我们的主角e,就是超越数,既然理解e的含义需要理解相关的运算,而这些运算最早都和利息有关,所以我们继续穿越。从古希腊再往回穿越4000年,穿越到7000年前的苏美尔文明时代。

利息的发明

7000年前,美索不达米亚的苏美尔人因为发达的农业和贸易,建立起人类最早的文明和城市,参见问题《为什么会有国家?》。

苏美尔人也第一个发明了利息,一起通过一个虚构的小故事来理解利息的起源: