天才引导的历程:数学中的伟大定理/邓纳姆 (william dunham)

译者序 前言 第1章希波克拉底的月牙面积定理(约公元前440年)1 论证数学的诞生1 有关求面积问题的一些评论13 伟大的定理:月牙面积19 后记22 第2章欧几里得对毕达哥拉斯定理的证明(约公元前300年)30 欧几里得的《几何原本》30 第一卷:准备工作36 第一卷:早期命题42 第一卷:平行线及有关命题50 伟大的定理:毕达哥拉斯定理54 后记60 第3章欧几里得与素数的无穷性(约公元前300年)70 《几何原本》第二至六卷70 《几何原本》中的数论76 伟大的定理:素数的无穷性82 《几何原本》的最后几卷85 后记92 第4章阿基米德的求圆面积定理(约公元前225年)95 阿基米德的生平95 伟大的定理:求圆面积100 阿基米德名作:《论球和圆柱》110 后记117 第5章海伦的三角形面积公式(约公元75年)125 阿基米德之后的古典数学125 伟大的定理:海伦的三角形面积公式131 后记140 第6章卡尔达诺与三次方程解(1545年)146 霍拉肖代数的故事146 伟大的定理:三次方程的解157 有关解方程的其他问题162 后记168 第7章艾萨克·牛顿的珍宝(17世纪60年代后期)171 英雄世纪的数学171 解放了的头脑177 牛顿二项式定理183 伟大的定理:牛顿的π近似值192 后记195 第8章伯努利兄弟与调和级数(1689年)204 莱布尼茨的贡献204 伯努利兄弟211 伟大的定理:调和级数的发散性217 最速降线的挑战220 后记224 第9章莱昂哈德·欧拉非凡的求和公式(1734年)230 通晓数学的大师230 伟大的定理:计算1+14+19+116+125+ 后记242 第10章欧拉数论集锦(1736年)247 费马的遗产247 伟大的定理:欧拉对费马猜想的反驳253 后记260 第11章连续统的不可数性(1874年)270 19世纪的数学270 康托尔与无穷的挑战277 伟大的定理:连续统的不可数性287 后记294 第12章康托尔与超限王国(1891年)297 无限基数的性质297 伟大的定理:康托尔定理304 后记313 结束语318 参考文献320

作者:(美国)William Dunham 译者:李繁荣 李莉萍William Dunham,俄亥俄州立大学硕士和博士毕业,现为美国穆伦堡学院教授,世界知名的数学史专家。他分别于1992年、1997年、2006年获得美国数学协会颁发的George Polya奖、Trevor Evans 奖和Lester R. Ford奖。Dunham教授著述颇丰,除本书外,还著有《The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems, and Personalities》(数学那些事儿:思想、发现、人物和历史)等广受好评的科普著作。

版权页: 插图: 据亚历山大所说,希波克拉底的推理如下:作为一个多边形,正六边形,可以用等积正方形表示,根据前面的论证,每一个月牙形也同样可以用等积正方形表示。于是,根据叠加过程,我们可以作出1个面积等于6个月牙形面积之和的正方形。因此,以AB为直径的圆的面积可以按照我们前面所说的方法,用简单的减法即可得到。 但是,正如亚历山大随即指出的那样,这一论证有一个明显的瑕疵:希波克拉底在之前论证的定理中求其面积的月牙形不是沿着内接正六边形的边长作的,而是沿着内接正方形的边长作的。也就是说,希波克拉底从来没有提出过求本例这种月牙形面积的方法。 大多数现代学者都觉得像希波克拉底这种水平的数学家不太可能会犯这种错误。

相反,很可能是亚历山大,或辛普利西乌斯,或任何其他转述者在介绍希波克拉底最初的论证时,在某种程度上曲解了他的原意。我们也许永远不会知道全部真相。然而,这种推理方法似乎也支持了一种看法,即化圆为方应该是可能的。如果说上述论证没有完成这项任务,那么,只要再多付出一点儿努力,再多一点儿洞察力,也许就可以成功了。 然而,情况并非如此。一代又一代人经过数百年的努力,始终未能化圆为方。历经种种曲折,人们提出了无数的解法。但最后却发现,每一种解法都有错误。逐渐地,数学家们开始怀疑,也许根本不可能用圆规和直尺作出圆的等面积正方形。当然,即便经过2000年的努力都没有找到一种正确的证明方法,这也不能表明化圆为方是不可能的。

也许,历代数学家只是不够聪明,因而还没有找到一条穿越几何丛林的道路。此外,如果化圆为方不可能的话,那么就必须借助其他定理的逻辑严密性来证明这一事实,而人们决不清楚如何作出这样一个证明。 还有一点必须强调,那就是,过去并没有人会怀疑“已知一个圆,就必然存在着一个与之面积相等的正方形”。例如,已知一个固定的圆和圆旁一个正方形投影小光点,并且,正方形投影的面积远远小于圆的面积。如果我们连续移动投影仪,使之距离投影屏面越来越远,从而逐渐扩大正方形投影的面积,我们最终会得到一个面积超过圆面积的正方形。根据“逐渐扩大”的直观概念,我们可以确定无疑,在过程中的某一瞬间,正方形面积恰好等于圆的面积。 但是,这毕竟有点儿离题。请记住,关键的问题不是是否存在这样一个正方形,而是是否可以用圆规和直尺作出这个正方形。这就出现了困难,因为几何学家只限于使用这两种特定工具,而移动投影光点显然违反这一规则。