刘徽近似公式计算根号 阿基米德和刘徽是如何计算圆周率的(二)
再给一个根号3的近似值, 18817 / 10864 ,以表达我对阿基米德的崇敬。
刘徽也非常大气,“观阴阳之割裂,总算术之根源”。先指出“周三径一”的上古说法太粗略。粗略到什么程度呢?内接正六边形的周长 与 圆的直径比值是 3 ,圆明显比内接正六边形长一点。从面积上看,用内接正六边形的边长,可以直接计算的是正十二边形的面积。
也就是说,半径为一的圆,直径为二,内接正六边形周长为六,周长比直径为三(接近圆周率用的数值);同时,内接正十二边形的面积为三,也可以用来接近圆周率。刘徽习惯用小数计算,指出,“周三径一”的说法,省略了所有的小数部分,太粗,对弓和弦不加区分。
刘徽的计算过程中,只用了一个定理,勾股定理。所有的数据全部都是硬算出来了。可见计算能力之强大。
阿基米德,站在欧几里德等人的肩膀上,可以用的东西很多,用到了角平分线分造成的比例,圆内等角造成的相似,相似造成的等比。还有用有理数逼近无理数的方法等等。
刘徽对相似的运用也是非常高超的,这一点,从《海岛算经》可以验证。对运算是不厌其烦的,这一点,同样从《海岛算经》可以看出来。《海岛算经》中,各种单位的换算就足以把一般的人弄糊涂。希腊人用比例运算,就不存在单位换算的问题了,相同的单位一比,就约分约掉了。
“观阴阳之割裂”大约是说发明了割圆术这样一种极限方法,能够改变世界观,“总算术之根源”大约是说把勾股定理这个万金油用的最好。我一直习惯称中国文化为万金油式的文化。古代数学,用一招勾股定理,吃遍天下;哲学,用一套阴阳五行概括所有;中医,用十全大补膏纠正各种亏虚;厨房,用一把菜刀搞定所有(德国人剪葱用葱剪,加水用量杯,加盐用天秤)。
吃饭,一双筷子足够,不像老外,刀叉棍棒全上。万金油式的文化,优点是简洁明快,缺点是粗疏,也就是说会显得不够精致。
而精致的东西,每一种都有一个“术”名,开方有开方术,比例有衰分、倒衰,看风水看到针缝隙里,针灸扎在看不见摸不着的经络上。瓷器烧的好,技术全部失传,现代人只能从头开发。
书法写的好,秘笈在墓里。精致的东西,很精细,很复杂,很富有技巧性,并且很多时候靠悟性、直觉、非理性,不可传承。这一点,印度的拉马努金也很像中国人,说他的那些神奇公式都是女神托梦送来的。故意搞点神秘主义,掩盖真实的技巧。
不知道儒家为何鄙视各种技巧,提倡“拙”,社会道德上讲,拙些好;而自然科学,自然是巧的妙,叫做巧妙。大巧若拙,大智若愚,而弄巧会成拙。如果说,拙比巧的层次更高,那么,没有巧,何来的拙呢?巧是地基,拙是屋顶。不追求技巧,而求拙,是不能实现的。
