陈省身如何做好的数学 陈省身:如何做“好的数学”(图)
推荐理由:本书主要内容是享誉中外的大科学家——孟昭英、陈省身、黄万里、彭恒武、王元、丘成桐等人的传记。与一般的科学家传记不同,作者不单叙述这些科学家的学术成就与贡献,而且更侧重于他们的人文关怀和文史哲修养,并探讨这些因素在他们成为大师,在专业领域里作出重大贡献时所发挥的作用。
真正的大师,不仅要有博大精深的学术修养和卓有建树的理论创新,更要有普世价值的人文关怀和献身真理的人格精神。2003年初春的一天,我们到南开大学宁园访问了陈省身先生。陈老虽已年过九旬,但除了需要坐轮椅外,他依然精神矍铄,思维敏捷。
陈先生从小就喜欢看书,什么书都拿来读,从《古文观止》到桐城派的文章,从唐诗到宋词。他特别喜欢《资治通鉴》,看过许多遍。
在我们海阔天空地聊了一阵之后,他认为还需要做一些补充:“其实我是一个生性淡泊的人。我年轻时就想隐居,不愿与人有过多的往来,主要的心愿是留学,当时就知道了重要的发展在国外。留学以后看出数学是条路子,自己可以走,就在这方面发展了。我尽量不干涉别人的事,自己努力。”
“有一年我跟内人去参观罗汉塔,我就感慨地跟她说:‘无论数学做得怎么好,顶多是做个罗汉。菩萨或许大家都知道他的名字,罗汉谁也不知哪个是哪个人。所以不要把名看得太重。’”可见,陈老对名利之淡泊,为人处世之通达,不完全来自天性,也来自对世界、人生的哲理性思考。
陈老很健谈,但他最爱谈的仍然是数学。他总是谆谆嘱咐后学者要做“好的数学”。什么是“好的数学”?可以从不好的数学谈起。陈先生在一次讲演中举过一个“幻方”的例子:将1至9排成三行三列的一个方阵,使每行每列以及两对角线上的数字相加均为15。我们可以做到这一点,例如:
可惜幻方只是一个奇迹,它在数学中没有引起其他更普遍深刻的影响。相反地,另外一个奇迹,所有的圆、圆的周长和它的直径之比都是一个不变的数,数学上称之为圆周率,记作。这个结果可重要了,因为这个数渗透了整个数学!譬如,可以出现在下面的公式中:
这个公式美极了!人们怎么也想不到由单数1,3,5……的组合可以产生圆周率。对于一个数学家来说,这个公式正如一幅美丽的图画或风景。
对的研究,引发了数学各个方面深刻的结果,是好的数学。幻方只是一个偶然现象,虽很巧妙,但不属于好的数学。与此相关,陈省身在一次报告中提及中学生数学奥林匹克竞赛的问题。他说,他是支持数学竞赛的,对数学竞赛的获奖者也一再给以鼓励,希望他们成功。
但是数学竞赛的题目都不是好的题目,因为在两三个钟头里,青少年学生能做出来的技巧性题目,不可能有很深的含义。这样说,并不是说奥林匹克竞赛题目都出得不好,他认为,数学奥林匹克竞赛的奖只是一个能力的表现,离研究一个好的数学问题还差得很远,更不可以把奥林匹克数学竞赛获奖者等同于数学家。
陈省身引用了法国大数学家拉格朗日(1736-1813)的标准,认为好的数学问题应当满足两个条件:一是易懂,走在马路上向任何人都能讲清楚;二是难攻,这种数学问题必须相当困难,但又不是无法攻克的。一个数学问题易懂,往往说明这个问题直观,很基本,具有普遍性,不需附加很强的外在条件。难攻应当指问题比较深入,非一眼可以看穿。从这样的角度再来审视陈省身的数学成果,也许我们更容易理解其中的价值和意义了。
陈先生自己最得意的工作是高斯-博内公式的内蕴证明。高斯-博内公式可以看作平面上三角形的内角之和等于180°或者(弧度制)在高维曲面上的推广。高斯-博内公式告诉我们,曲面三角形的点曲率、线曲率及面曲率之和,即全曲率等于一个与有关的几何不变量。从定理的叙述中可以看出,这是曲面几何的多么基本、美丽的定理。
陈省身将高斯-博内公式推广到曲面,建立了曲面上各点的单位切矢量形成的空间的结构,称为“圆丛”。
讲到这里,陈先生很兴奋地说,“这个定理证明的原始想法在西南联大时就有。有了原始想法,再加上非常复杂的微分几何的计算,这需要用到当时看来比较高深的数学,像分析、代数几何、李群、拓扑等。对拓扑学的一些工具当时还没有完全搞清,为了证明这个定理,抓起来就用……”
