【微积分有多难】微积分最难的是哪里?

微积分是个非常广泛的概念,它最早由牛顿、莱布尼兹创立,但是初始阶段的微积分逻辑基础非常不严格,也因此受到很多人的责难。后来波尔查诺(Bolzano)、柯西(Cauchy)、黎曼(Riemann)、戴德金(Dedekind)、魏尔斯特拉斯(Weierstrass)等人的不断发展和完善,最终形成了一整套逻辑严密,且应用广泛、威力无穷的数学理论和方法。

因此,微积分包含的内容庞杂,不同专业的学生所接触到的微积分的层次也是不一样的,按照目前国内大学的教学体系,总共可以分为四个层次:

1、经济管理等偏文科的专业,学生所生的课程名字就叫做《微积分》,内容比较浅显。

2、理工科非数学专业,学习的课程是《高等数学》,包含的内容比微积分要广一些,但是仍然比较浅显,主要以计算为主。

3、数学专业的学生,学习《数学分析》,内容和高等数学差不多,但是更偏重于原理的证明。

4、数学专业高层次的本科生或研究生,学习的课程叫《实分析》(国内一般从《实变函数》学起),这个是真正的微积分的原理,从最基础的概念开始按照严格的逻辑建立微积分的理论,并且在此基础上进行发展。

针对不同层次的学生,我来说一些我认为的最难的部分。

1、《微积分》,这是最为最简单的微积分,并不要求对概念有深入的理解,甚至都不会学习极限、连续等概念的严格定义,学生只需要停留在利用公式进行计算的程度即可,那么所有公式里面最难的是哪个呢?我认为是泰勒公式,先不说它的意思,先看看它长什么样子:

一个公式要占满一整行,从小学到大学接触的所有数学公式中,泰勒公式应该是绝无仅有了吧。首先从长度上这个公式就会把不少人吓得瑟瑟发抖,而要理解它更是难上加难,很多人即使学完了整个微积分课程也不知道泰勒公式到底是个啥,以及为什么会有这么一个令人抓狂的式子出现。

而从做题的角度来讲,公式中x0的不确定性以及n的不确定性给学生解题带来巨大的困难,泰勒公式配合另外一个神公式——拉格朗日中值定理,可以组合出无数道天马行空的题目来。出题人随手写一个函数,利用上面两个神公式推出一个恒等式,学生需要从这个稀奇古怪的恒等式出发反过来自己构造出原来那个函数,毫无章法可循,只能说能够解出题目来完全要凭运气而非智商。

2、《高等数学》,高等数学算是比较正式的微积分,从最开始的极限概念,逐渐讲到以极限为基础的微分和积分,以及由此发展出的级数和微分方程的理论,而恰恰极限的概念是最难以理解的内容。国内层次好的高中就会讲到极限的概念,当你问一个高中生极限是什么的时候,他或许也能绉上两句,但是高中生并不能真正理解极限的概念是什么。

比如我们知道当x趋向正无穷时,1/x的极限是0,为什么呢,高中生的解释就是,x越来越大,那么1/x就越来越小,越来越向0靠近,所以极限就是0。

但是这种说法是非常不严格的,什么叫1/x越来越向0靠近呢?既然是越来越小,那么我要说1/x逐渐向0.00000001靠近,你又如何反驳我呢?因此,要弄清极限的概念,就必须有一个严格的数学定义,而高等数学就是以此作为出发点的。

然而当你学习高等数学是却会发现,即使是x趋向正无穷时1/x的极限是0这么一个明显的事情,如果用严格的数学语言叙述起来也会变得如此晦涩,数学上函数在一点的极限是这么定义的:

这个公式可以说从根本上改变了数学学习者的三观,ε明明是一个变化的量,但是在证明时又要把它看成是一个不变的量, δ又在随着ε的变化而变化,而之后又要把 δ看成不变的而x在变化,光是区别证明过程中谁变谁不变就足以让初学者焦头烂额,还要用它来证明一些更复杂的题目,难怪学生会哭天抢地。

事实上,数学家们自己也意识到这个概念过于艰深,一下子浇灭了学习者对数学的热情。因此很多数学家试图用更简单的概念来代替这个定义。

其中最有代表性的工作是我国的林群院士,出版有《微积分快餐》等著作,有兴趣的读者可以去细细研究。但总体来看,极限的定义是高等数学里最困难的一个概念是没有问题的,甚至因为他太过艰难,很多课程直接跳过这一部分内容。

3、《数学分析》,数学分析是真正的微积分的原理,他对高等数学中的所有概念和定理都进行了原理性的证明,因而更加抽象和难懂。上面提到的极限的定义,只是数学分析里面最基础的一个定义而已,而最难的一部分,大家公认的就是实数的完备性及其相互证明。先看一下实数的完备性的内容:

我们从小学数数开始就接触实数,到中学后就有了实数的概念,我们认为实数的概念是那么自然,但是谁能想到,我们习惯的实数竟然喊能搞出这么多幺蛾子来!上面每一条定理都在描述实数的性质,但是每一条都让人看得云里雾里,仅仅弄明白它说的是什么意思以及为什么要这样说就需要花上数年的时间去体会。

这七条定理都是等价的,也就是说可以互相证明,那么理论上说就可以衍生出42种证明,其中每一种证明都足以让学生花几个小时去理解。甚至有不少人将完成这42个证明当成训练自己大脑的一门功课。

4、《实分析》,实分析是不仅是微积分的基础,甚至是数学的基础,除去哲学上的讨论,他从最根本的意义上回答了实数是什么的问题。因此我认为,实数的构造理论是实分析里面最难的内容。数学分析里面让人诘屈聱牙的完备性定理,实际上只是实数构造的衍生品而已。

我们初中就知道根号2是个无理数,那么到底什么是无理数呢,他是一个无限不循环小数,那么既然不循环了我们怎么还能表示出他来呢。从古希腊希帕索斯发现根号2以来,无数才华卓越的数学家们奋斗了两千多年才认识到根号2的本质。实数的定义有很多种形式,其中最著名的就是戴德金分割:

初学者根本看不出来这都东西和我们熟悉的根号2、根号3或者1,2,3,1/2,1/3这些有什么关系,但它实实在在就是实数的定义。当然,要理解这个定义还不是很困难,但是要以此定义为基础建立对整个数学体系的认识则是需要多年的努力才行!